设 $L$ 是李代数， $x\in L$ 称为强伴随表示幂零的（strongly ad-nilpotent） ，若存在 $y\in L$，$\mathrm{ad}y$ 的非零特征值 $a$ 使得 $x\in L_a(\mathrm{ad}y)$ ：$x$ 位于 $\mathrm{ad}y$ 的特征 $a$ 对应的根子空间中。注意这直接导致 $x$ 是伴随表示幂零的，故这术语没问题。
记全体强伴随表示幂零元为 $\mathcal{N}(L)$、由全体 $x\in \mathcal{N}(L)$ 诱导的内自同构群为 $\mathcal{E}(L)$。

1. 注意：$\mathcal{N}(L)$ 在 $\mathrm{Aut}L$ 作用下稳定，由此有 $\mathcal{E}(L)⊲\mathrm{Aut}L$。
2. 我们更喜欢在 $\mathcal{E}(L)$ 上工作，而不是 $\mathrm{Int}L$：因为其有更好的函子性质。
   事实上，若 $L$ 半单，$K$ 是 $L$ 的子代数，则显然有 $\mathcal{N}(K)\subset \mathcal{N}(L)$。这允许我们去定义 $\mathcal{E}(L)$ 的子群 $\mathcal{E}(L;K)$，其由各 $\exp ({\mathrm{ad}}_{L}x),x\in \mathcal{N}(K)$ 生成。则 $\mathcal{E}(K)$ 可单纯地由在 $\mathcal{E}(L;K)$ 限制到 $K$ 得到。相反地，如果我们取任一 $x\in K$ 使 ${\mathrm{ad}}_{K}x$ 幂零，我们没办法控制 ${\mathrm{ad}}_{L}x$，因此找不到 $\mathrm{Int}(K)$ 与 $\mathrm{Int}(L)$ 之间的关系。

若 $\phi :L\to L^{\prime }$ 是满同态，且 $y\in L$，则 $\phi (L_a(\mathrm{ad}y))=L_a^{\prime }(\mathrm{ad}\phi (y))$。由此可知 $\phi (\mathcal{N}(L))=\mathcal{N}(L^{\prime })$。

设 $\phi :L\to L^{\prime }$ 为满同态，若 ${\sigma }^{\prime }\in \mathcal{E}(L^{\prime })$，则存在 $\sigma \in \mathcal{E}(L)$ 使得

设 $L$ 可解， $\mathcal{E}(L)$ 如上所示。则对任意两个 CSA $H_1$，$H_2$, 其在 $\mathcal{E}(L)$ 下共轭。